L.P.B. Maths vidéo - Soutien scolaire gratuit

Peut-on comprendre d'où vient l'efficacité des mathématiques en physique ?

J.G. — 2016-10-21T12:28:05Z

« L'idée que les mathématiques sont le langage naturel de la physique est devenue banale et semble claire. Elle peut toutefois s'interpréter d'au moins deux façons, qui ne sont pas du tout équivalentes des points de vue épistémologique et philosophique :
- soit ce langage est pensé comme étant celui de la nature même, ce qui implique que celui qui étudie la nature devra l'assimiler pour la comprendre ;
- soit, à l'inverse, ce langage est pensé comme étant le langage de l'homme, et c'est (…)

- Pause-café / Aristote, Kurt Gödel, Albert Einstein, Galilée, Emmanuel Kant, Platon, Pythagore, Paul Dirac, Étienne Klein

Le tout est-il toujours plus grand que la partie ?

J.G. — 2012-12-08T22:30:00Z

« Mais il y a difficulté à propos de l'étude de l'infini. Qu'on le pose aussi bien comme non existant que comme existant, il s'ensuit maintes impossibilités. » Aristote [1]
Pour ce dernier, l'infini n'était pas en acte mais en puissance.

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« Considérons la suite des nombres entiers

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ... n ...

et la suite des nombres pairs

2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ... 2n ...

Si, à chaque nombre n, nous faisons correspondre le nombre pair 2n, nous pouvons dire qu'il y a autant de nombres pairs que de nombres. Cela contredit un des axiomes [2] fondateurs de la géométrie grecque affirmant que le tout est plus grand que la partie. En effet, ici, le tout serait l'ensemble des nombres entiers et la partie, l'ensemble des nombres pairs. L'ensemble des nombres pairs ne représente pas tous les entiers, et, pourtant, il y a “autant” de pairs que d'entiers. Paradoxal !

En revanche, si nous travaillons avec des considérations d'infini potentiel [3], la situation précédente n'est plus paradoxale. Parmi les dix mille premiers entiers, les pairs sont

2 = 2 x 1 ; 4 = 2 x 2 ; 6 = 2 x 3 ; 8 = 2 x 4 ... 10 000 = 2 x 5 000

Donc, parmi les dix mille premiers entiers, il y a cinq mille nombres pairs : ce sont 2 = 2 x 1,
4 = 2 x 2, 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4 ... et le dernier 10 000 = 2 x 5 000. Il y a bien moins de nombres pairs que de nombres entiers parmi ces dix mille premiers entiers. Évidemment, ce résultat est vrai que nous prenions dix mille, vingt mille, un million de nombres ou beaucoup plus. Il n'y a pas de paradoxe. En fait, le problème se pose lorsque nous considérons l'ensemble des nombres pris dans sa totalité, comme un tout, c'est-à-dire perçu comme un infini actuel [4] et non plus comme une succession indéfinie de nombres. » Norbert Verdier

Source : Norbert Verdier, L'infini en mathématiques, Flammarion, collection Dominos, 1997.

[1] Aristote, PHYSIQUE, III, 4, 203b-204a.

[2] Axiome : hypothèse, règle de départ dont on tire les conséquences logiques en vue de l'élaboration d'un système.

[3] Infini potentiel ou en puissance : qui n'a pas de borne, de limite, qui est plus grand que toute quantité de même nature. Avant Cantor, l'ensemble des entiers naturels était conçu comme un infini potentiel car cet ensemble n'est jamais fini. On peut toujours trouver un entier plus grand qu'un entier donné. Avec Cantor, l'ensemble des nombres entiers naturels devient un infini actuel, car il considère cet ensemble dans sa totalité.

[4] Infini actuel ou en acte : infini conçu en tant que totalité.

Zénon d'Elée : le paradoxe d'Achille et la tortue

J.G. — 2012-12-08T21:00:00Z

Achille voit une tortue en avant sur son chemin et se met à courir pour la rattraper. Lorsque Achille atteint la place qu'occupait la tortue, cette dernière a avancé. Il doit donc atteindre maintenant la nouvelle place qu'elle occupe, et ainsi de suite...
Par conséquent, Achille ne pourra jamais rattraper la tortue puisqu'il doit toujours parvenir d'abord au point que la tortue vient de quitter !

Le paradoxe de Zénon

Ce paradoxe porte le nom de Zénon, philosophe grec de l'Antiquité. Ce dernier est principalement connu pour avoir formulé divers paradoxes destinés à soutenir les thèses de son maître, Parménide.

Thérèse Eveilleau, sur son site Mathématiques magiques, nous donne une belle illustration du cadre mathématique de ce paradoxe, avec Aladin et le petit lion :
https://mathsmagiques.fr/pages/paradoxe/textes/zenon.htm

Aristote, dans le livre VI de sa Physique, réfuta ce paradoxe :
« Le deuxième est celui qu'on appelle l'Achille. Le voici : le plus lent à la course ne sera jamais rattrapé par le plus rapide ; car celui qui poursuit doit toujours commencer par atteindre le point d'où est parti le fuyard, de sorte que le plus lent a toujours quelque avance. C'est le même raisonnement que celui de la dichotomie : la seule différence, c'est que, si la grandeur successivement ajoutée est bien divisée, elle ne l'est plus en deux. On tire bien comme conclusion du raisonnement que le plus lent ne sera pas rattrapé par le plus rapide ; mais c'est pour la même raison que dans la dichotomie : dans les deux cas, en effet, on conclut qu'on ne peut arriver à la limite, la grandeur étant divisée d'une façon ou une autre ; mais, ici, on ajoute que même ce héros de vitesse, dans la poursuite du plus lent, ne pourra y arriver. Par suite, la solution sera aussi la même. Quant à penser que celui qui est en avant ne sera pas rattrapé, c'est faux ; en effet, tant qu'il est en avant, il n'est pas rattrapé ; mais cependant il est rattrapé, pour peu qu'on accorde que c'est une ligne finie qui est parcourue. » [1]

Finalement, au bout de combien de temps Achille rattrapera-t-il la tortue ?

Au bout de combien de temps Achille rattrapera-t-il la tortue ?

[1] Aristote, Physique (livre VI, 239 b), tome second, traduction Henri Carteron, Société d'Édition « Les Belles Lettres », Paris, 1931, p. 61. En grec ancien :

Aristote et l'Achille en grec ancien

« les nombres, je le répète, forment le monde entier selon les Pythagoriciens » Aristote

J.G. — 2012-12-08T20:00:00Z

Si Thalès ou Anaximène voyaient dans l'eau ou l'air le principe de toutes choses, pour les Pythagoriciens, le principe, c'était le nombre. Aristote, dans le livre A de sa Métaphysique, exposa cette vision pythagoricienne.

Aristote et les Pythagoriciens

« À la même époque que ces divers philosophes et même auparavant, ceux qu'on appelle les Pythagoriciens s'appliquèrent tout d'abord aux mathématiques et leur firent faire de grands progrès ; mais, nourris dans cette étude exclusive, ils s'imaginèrent que les principes des mathématiques sont aussi les principes de tous les êtres. Comme les nombres sont naturellement les premiers entre les principes de cet ordre, ils crurent y découvrir une foule de ressemblances avec les êtres et avec les phénomènes, bien plutôt que dans le feu, la terre et l'eau. Par exemple, suivant les Pythagoriciens, telle modification des nombres est la justice ; telle autre est l'âme et la raison ; telle autre représente l'occasion favorable pour agir ; et de même pour chaque objet en particulier.
En second lieu, ces philosophes remarquèrent que tous les modes de l'harmonie musicale et les rapports qui la composent, se résolvent dans des nombres proportionnels. Ainsi, trouvant que le reste des choses modèlent essentiellement leur nature sur tous les nombres, et que les nombres sont les premiers principes de la nature entière, les Pythagoriciens en conclurent que les éléments des nombres sont aussi les éléments de tout ce qui existe, et ils firent du monde, considéré dans son ensemble, une harmonie et un nombre. Puis, prenant les axiomes qu'ils avaient évidemment démontrés pour les nombres et pour les harmonies, ils les accommodèrent à tous les phénomènes et à toutes les parties du ciel, aussi bien qu'à l'ordonnance totale de l'univers, qu'ils essayaient de renfermer dans leur système. Bien plus, quand ce système présentait de trop fortes lacunes, ils les comblaient arbitrairement, afin que l'échafaudage fût aussi harmonieux et aussi concordant que possible. J'en cite un exemple. À en croire les Pythagoriciens, le nombre dix est le nombre parfait, et la Décade recouvre la nature de tous les nombres. Ils partent de là pour prétendre qu'il doit y avoir dix corps qui se meuvent dans les cieux ; mais, comme il n'y en a que neuf de visibles, ils en supposent un dixième, l'Antichthôn, qui est l'opposé de la terre. Du reste, nous avons développé ces questions avec plus d'étendue dans d'autres ouvrages [1] ; et le seul motif qui nous y fasse revenir ici, c'est le désir de savoir aussi de ces philosophes quels sont définitivement les principes qu'ils admettent, et dans quelle mesure ces principes se rapportent aux causes que nous avons énumérées nous-mêmes. Il paraît donc que les Pythagoriciens, tout aussi bien que les autres, en adoptant le nombre pour principe, l'ont regardé comme la matière des choses, et la cause de leurs modifications et de leurs qualités. Or, les éléments du nombre sont le pair et l'impair ; et l'un, [l'impair], est fini, tandis que l'autre, le pair, est infini. L'unité est les deux tout ensemble ; car elle est composée de ces deux éléments, du pair et de l'impair, de même que c'est elle qui donne naissance à la série entière des nombres ; et les nombres, je le répète, forment le monde entier selon les Pythagoriciens.
Parmi ces mêmes philosophes, il en est encore d'autres qui reconnaissent dix principes, ainsi rangés et combinés en séries parallèles :

Limite	Illimité	En repos	Mû
Impair	Pair	Droit	Courbe
Unité	Pluralité	Lumière	Ténèbres
Droit	Gauche	Bon	Mauvais
Mâle	Femelle	Carré	Oblong

C'est là, ce semble, une classification qu'admet également Alcméon de Crotone, soit qu'il l'ait prise aux Pythagoriciens, soit que les Pythagoriciens la lui aient empruntée. » Aristote, La Métaphysique, livre A, chapitre V, 985 b et 986 a, p. 56 à 58, édition Pocket, 1991, traduction de Jules Barthélemy-Saint-Hilaire revue et annotée par Paul Mathias.

Détail de la fresque l'École d'Athènes du peintre italien Raphaël, 1509

Platon&Aristote. Détail de la fresque l'École d'Athènes du peintre italien Raphaël, 1509.

Platon (à gauche) et Aristote (à droite). Aristote pointe le sol par le plat de sa main droite, ce qui symbolise sa croyance dans la connaissance par le biais de l'observation empirique et de l'expérience tout en tenant, dans l'autre main, une copie de son Éthique à Nicomaque. Platon pointe le doigt vers le ciel symbolisant sa croyance dans les idées.

[1] Notamment le Traité du Ciel, II, 13.