L.P.B. Maths vidéo - Soutien scolaire gratuit

Le tout est-il toujours plus grand que la partie ?

J.G. — 2012-12-08T22:30:00Z

« Mais il y a difficulté à propos de l'étude de l'infini. Qu'on le pose aussi bien comme non existant que comme existant, il s'ensuit maintes impossibilités. » Aristote [1]
Pour ce dernier, l'infini n'était pas en acte mais en puissance.

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« Considérons la suite des nombres entiers

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ... n ...

et la suite des nombres pairs

2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ... 2n ...

Si, à chaque nombre n, nous faisons correspondre le nombre pair 2n, nous pouvons dire qu'il y a autant de nombres pairs que de nombres. Cela contredit un des axiomes [2] fondateurs de la géométrie grecque affirmant que le tout est plus grand que la partie. En effet, ici, le tout serait l'ensemble des nombres entiers et la partie, l'ensemble des nombres pairs. L'ensemble des nombres pairs ne représente pas tous les entiers, et, pourtant, il y a “autant” de pairs que d'entiers. Paradoxal !

En revanche, si nous travaillons avec des considérations d'infini potentiel [3], la situation précédente n'est plus paradoxale. Parmi les dix mille premiers entiers, les pairs sont

2 = 2 x 1 ; 4 = 2 x 2 ; 6 = 2 x 3 ; 8 = 2 x 4 ... 10 000 = 2 x 5 000

Donc, parmi les dix mille premiers entiers, il y a cinq mille nombres pairs : ce sont 2 = 2 x 1,
4 = 2 x 2, 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4 ... et le dernier 10 000 = 2 x 5 000. Il y a bien moins de nombres pairs que de nombres entiers parmi ces dix mille premiers entiers. Évidemment, ce résultat est vrai que nous prenions dix mille, vingt mille, un million de nombres ou beaucoup plus. Il n'y a pas de paradoxe. En fait, le problème se pose lorsque nous considérons l'ensemble des nombres pris dans sa totalité, comme un tout, c'est-à-dire perçu comme un infini actuel [4] et non plus comme une succession indéfinie de nombres. » Norbert Verdier

Source : Norbert Verdier, L'infini en mathématiques, Flammarion, collection Dominos, 1997.

[1] Aristote, PHYSIQUE, III, 4, 203b-204a.

[2] Axiome : hypothèse, règle de départ dont on tire les conséquences logiques en vue de l'élaboration d'un système.

[3] Infini potentiel ou en puissance : qui n'a pas de borne, de limite, qui est plus grand que toute quantité de même nature. Avant Cantor, l'ensemble des entiers naturels était conçu comme un infini potentiel car cet ensemble n'est jamais fini. On peut toujours trouver un entier plus grand qu'un entier donné. Avec Cantor, l'ensemble des nombres entiers naturels devient un infini actuel, car il considère cet ensemble dans sa totalité.

[4] Infini actuel ou en acte : infini conçu en tant que totalité.

Zénon d'Elée : le paradoxe d'Achille et la tortue

J.G. — 2012-12-08T21:00:00Z

Achille voit une tortue en avant sur son chemin et se met à courir pour la rattraper. Lorsque Achille atteint la place qu'occupait la tortue, cette dernière a avancé. Il doit donc atteindre maintenant la nouvelle place qu'elle occupe, et ainsi de suite...
Par conséquent, Achille ne pourra jamais rattraper la tortue puisqu'il doit toujours parvenir d'abord au point que la tortue vient de quitter !

Le paradoxe de Zénon

Ce paradoxe porte le nom de Zénon, philosophe grec de l'Antiquité. Ce dernier est principalement connu pour avoir formulé divers paradoxes destinés à soutenir les thèses de son maître, Parménide.

Thérèse Eveilleau, sur son site Mathématiques magiques, nous donne une belle illustration du cadre mathématique de ce paradoxe, avec Aladin et le petit lion :
https://mathsmagiques.fr/pages/paradoxe/textes/zenon.htm

Aristote, dans le livre VI de sa Physique, réfuta ce paradoxe :
« Le deuxième est celui qu'on appelle l'Achille. Le voici : le plus lent à la course ne sera jamais rattrapé par le plus rapide ; car celui qui poursuit doit toujours commencer par atteindre le point d'où est parti le fuyard, de sorte que le plus lent a toujours quelque avance. C'est le même raisonnement que celui de la dichotomie : la seule différence, c'est que, si la grandeur successivement ajoutée est bien divisée, elle ne l'est plus en deux. On tire bien comme conclusion du raisonnement que le plus lent ne sera pas rattrapé par le plus rapide ; mais c'est pour la même raison que dans la dichotomie : dans les deux cas, en effet, on conclut qu'on ne peut arriver à la limite, la grandeur étant divisée d'une façon ou une autre ; mais, ici, on ajoute que même ce héros de vitesse, dans la poursuite du plus lent, ne pourra y arriver. Par suite, la solution sera aussi la même. Quant à penser que celui qui est en avant ne sera pas rattrapé, c'est faux ; en effet, tant qu'il est en avant, il n'est pas rattrapé ; mais cependant il est rattrapé, pour peu qu'on accorde que c'est une ligne finie qui est parcourue. » [1]

Finalement, au bout de combien de temps Achille rattrapera-t-il la tortue ?

Au bout de combien de temps Achille rattrapera-t-il la tortue ?

[1] Aristote, Physique (livre VI, 239 b), tome second, traduction Henri Carteron, Société d'Édition « Les Belles Lettres », Paris, 1931, p. 61. En grec ancien :

Aristote et l'Achille en grec ancien

Figure en abyme et passage à la limite

J.G. — 2012-12-08T10:00:00Z

Figure en abyme : figure dans laquelle se trouve la figure elle-même, et ainsi de suite. Lorsqu'on évoque ce type de figure, on se contente de décrire les premières étapes et on sous-entend la répétition à l'infini du motif.

Triangles noirs sur fond blanc

« On construit des triangles noirs de plus en plus petits. Ici, seuls six triangles sont représentés et le sixième est tout petit ; mais si l'on poursuit le processus, au bout d'un certain nombre d'étapes, pour l'œil, le dernier triangle se confond avec le point O. Le mathématicien dit que la suite des triangles tend vers le point O. Remarquons cependant que le point O n'appartient à aucun des triangles : c'est une extrapolation de l'esprit, un passage à la limite. » Norbert Verdier

Source : Norbert Verdier, L'infini en Mathématiques, éditions Flammarion, collection Dominos, 1997, p. 10&11.

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Détail du miroir. Les époux Arnolfini de Jan Van Eyck (1434)