Le tout est-il toujours plus grand que la partie ?

Samedi 8 décembre 2012| Lu 427 fois | J.G.

« Mais il y a difficulté à propos de l’étude de l’infini. Qu’on le pose aussi bien comme non existant que comme existant, il s’ensuit maintes impossibilités. » Aristote [1]
Pour ce dernier, l’infini n’était pas en acte mais en puissance.

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« Considérons la suite des nombres entiers

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ... n ...

et la suite des nombres pairs

2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ... 2n ...

Si, à chaque nombre n, nous faisons correspondre le nombre pair 2n, nous pouvons dire qu’il y a autant de nombres pairs que de nombres. Cela contredit un des axiomes [2] fondateurs de la géométrie grecque affirmant que le tout est plus grand que la partie. En effet, ici, le tout serait l’ensemble des nombres entiers et la partie, l’ensemble des nombres pairs. L’ensemble des nombres pairs ne représente pas tous les entiers, et, pourtant, il y a “autant” de pairs que d’entiers. Paradoxal !

En revanche, si nous travaillons avec des considérations d’infini potentiel [3], la situation précédente n’est plus paradoxale. Parmi les dix mille premiers entiers, les pairs sont

2 = 2 x 1 ; 4 = 2 x 2 ; 6 = 2 x 3 ; 8 = 2 x 4 ... 10 000 = 2 x 5 000

Donc, parmi les dix mille premiers entiers, il y a cinq mille nombres pairs : ce sont 2 = 2 x 1,
4 = 2 x 2, 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4 ... et le dernier 10 000 = 2 x 5 000. Il y a bien moins de nombres pairs que de nombres entiers parmi ces dix mille premiers entiers. Évidemment, ce résultat est vrai que nous prenions dix mille, vingt mille, un million de nombres ou beaucoup plus. Il n’y a pas de paradoxe. En fait, le problème se pose lorsque nous considérons l’ensemble des nombres pris dans sa totalité, comme un tout, c’est-à-dire perçu comme un infini actuel [4] et non plus comme une succession indéfinie de nombres. » Norbert Verdier

Source : Norbert Verdier, L’infini en mathématiques, Flammarion, collection Dominos, 1997.

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